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夏焦兵:双亲之一基因型不确定求后代表现型概率  

2013-04-24 16:52:19|  分类: 2遗传概率计算 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一道遗传概率难题的解法探讨

 

摘要  双亲之一基因型不确定的多对交配组合,第2次产下特定表型子代的概率求解问题涉及逆概率公式的应用,较为复杂,稍不注意,就会因思虑不周而出错。对一个有关的概率难题的不同解法进行了分析探讨。

关键词  遗传概率难题   解法探讨   逆概率公式

中国图书分类号:G633.91    文献标识码:C

 

1         问题呈现

已知牛的有角与无角为一对相对性状,由常染色体上的等位基因Aa控制。在自由放养多年的一群牛中(无角的基因频率与有角的基因频率相等),随机选出1头无角公牛和6头有角母牛,分别交配,每头母牛只产了一头小牛。在6头小牛中,3头有角,3头无角。假设无角为隐性,则原先的1头无角公牛和原先的6头有角母牛再次分别交配,每头母牛只产一头小牛,在6头小牛中,3头有角3头无角的概率是多少?

2         3种解法及其探讨

因无角基因频率和有角基因频率相等,又已设无角为隐性,则随机群体中,有角母牛Aa AA = 21Aa2/3AA1/3;无角公牛(aa)×有角母牛(A??_)→ 有角小牛:无角小牛=2 :1,有角小牛占2/3,无角小牛占1/3。题中产下3头有角和3头无角小牛的6头母牛,至少有3基因型Aa下面的3种不同解法均基于此共性的遗传分析,分歧在于后面的计算方法和最终结果。

21  解法1:答案为7/24

根据题意,6头母牛的基因型有3头一定为Aa,另外3头每一头都有1/3的可能为AA,有2/3的可能为Aa。将这6头母牛分成2组:基因型一定为Aa3头为甲组,另外3头为乙组。甲组和乙组产生的子代表现型及其可能性分别如表1和表2

1  甲组产生的子代表现型及可能性

①全有角

2有角1无角

1有角2无角

④全无角

1/23

1/23×3

1/23×3

1/23

2  乙组产生的子代表现型及可能性

⑤全有角

2有角1无角

1有角2无角

⑧全无角

2/33

2/32×1/3×3

2/3×(1/32×3

1/33

其中,①⑧、②⑦、③⑥、④⑤组合符合“6头小牛中,3头有角3头无角”的题目要求,计算各组合发生的可能性分别如下。

①⑧组合发生的可能性:1/23×(1/33=1/216

②⑦组合发生的可能性:1/23×3×2/3×(1/32×3=18/216

③⑥组合发生的可能性:1/23×3×(2/32×1/3×3=36/216

④⑤组合发生的可能性:1/23×(2/33=8/216

合计得最终结果:7/24

【分析探讨】解法1中有3头杂合母牛被事先固定,而事实上究竟哪3头母牛是杂合的,这是不确定的(尽管至少有3头母牛一定是杂合的)。这种解法事先确定3头母牛是Aa,再只对剩下的3头母牛按AA1/3Aa2/3计算。实际上,这是在已知哪3头母牛产生了无角小牛时才可。因为当不清楚具体哪头母牛是Aa时,只能针对整个群体中的任意一头有角母牛使用AA1/3Aa2/3的概率进行进一步计算。人为分成甲乙2组后,相当于确定了哪3头牛是Aa,从而使整个牛群的各基因型概率不再适用于产下了无角小牛的3头母牛。可见,解法1存有漏洞。

22   解法2:答案为10/41

1,能产下3头无角3头有角小牛的6头母牛,其基因型组合有以下4种情况。从牛群中随机选出每种组合的概率计算如下。

3(Aa)3(AA)的概率=2/3 Aa31/3 AA3 C63=160/729

4(Aa)2(AA)的概率=2/3 Aa41/3 AA2 C64=240/729

5(Aa)1(AA)的概率=2/3 Aa51/3 AA1 C65=192/729

6(Aa)0(AA)的概率=2/3 Aa61/3 AA0 C66=64/729

合计:656/729

2步,以上4种特定组合中,每种组合的概率重排如下。

3(Aa)3(AA)的概率=160/729/656/729=160/656

4(Aa)2(AA)的概率=240/729/656/729=240/656

5(Aa)1(AA)的概率=240/729/656/729=192/656

6(Aa)0(AA)的概率=64/729/656/729=64/656

3步,算出每种情况下6头母牛产下3头有角和3头无角小牛的概率。

3(Aa)3(AA)情况下:(1/2无角)3 =1/8

4(Aa)2(AA)情况下:(1/2无角)31/2有角)1 C43=1/4

5(Aa)1(AA)情况下:(1/2无角)31/2有角)2 C53=5/16

6(Aa)0(AA)情况下:(1/2无角)31/2有角)3 C63=5/16

4步,计算6头母牛第2次交配产下3头有角和3头无角小牛的联合概率,并合计得出最终结果:160/656×1/8+240/656×1/4+192/656×5/16+64/656×5/16=160/656=10/41

【分析探讨】解法2没有考虑6头母牛产下3头有角和3头无角小牛的前后,其4种基因型组合的概率是变化的:第一次产下3头有角和3头无角小牛前,是事前概率;产下3头有角和3头无角小牛后,是事后概率,应按照贝叶斯定理(又叫逆概率公式)对事前概率进行修正。因此,严格来说,解法2也是不正确的。

23   解法3:答案为17/64

 6头有角母牛产下3头有角和3头无角的小牛为事件C。另设6头有角母牛中,3头为Aa3头为AA为事件D14头为Aa2头为AA为事件D2 5头为Aa1头为AA为事件D3 6头为Aa为事件D4

1步,同解法21步。

2步,同解法22步,结果表示如下:

PD1=160/656PD2=240/656 PD3=192/656 PD4=64/656

上述结果分别为事件D1D2D3D4各自相对于事件C的事前概率。

3步,同解法23步,结果表示如下:

PC/D1=1/8  PC/D2=1/4   PC/D3=5/16  PC/D4=5/16

4步,6头母牛第1次产下3头有角和3头无角小牛后,事件D1D2D3D4发生的概率需运用逆概率公式将事前概率[PDn]修正为事后概率[PDn/C]。修正结果如下。

PD1/C=PC/D1)·PD1/[PC/D1)·PD1+PC/D2)·PD2+PC/D3)·PD3+PC/D4)·PD4]=1/8 

PD2/C=PC/D2)·PD2/[PC/D1)·PD1+PC/D2)·PD2+PC/D3)·PD3+PC/D4)·PD4]=3/8

PD3/C=PC/D3)·PD3/[PC/D1)·PD1+PC/D2)·PD2+PC/D3)·PD3+PC/D4)·PD4]=3/8 

PD4/C=PC/D4)·PD4/[PC/D1)·PD1+PC/D2)·PD2+PC/D3)·PD3+PC/D4)·PD4]=1/8 

5步,计算6头母牛2次产下3头有角和3头无角小牛的联合概率,并合计得出最终结果PC=1/8×1/8+3/8×1/4 +3/8×5/16+1/8×5/16=17/64

【分析探讨】此题的关键在于:6头母牛能产下3头有角和3头无角小牛的4种基因型组合的概率是变化的。产下特定表型组合的后代之前,概率按从牛群中随机选出的概率分布计算;第一次产生3头有角和3头无角小牛后,概率就按照贝叶斯公式修正为事后概率。解法3克服了解法1和解法2的不足之处,因此是本题最合理的解答。

3        问题小结

双亲之一基因型不确定的多对交配组合第2次产下特定表型子代的概率求解问题,涉及逆概率公式的应用,较为复杂,稍不注意,就会因思虑不周而出错。逆概率公式在高中遗传概率计算中的应用情形往往是:双亲之一基因型不确定,产生了特定基因型或表现型的子代。逆概率公式在此情形中的具体应用是:产生特定子代后特定基因型的概率=特定基因型产生特定子代的联合概率/所有基因型产生特定子代的联合概率之和。欲学习有关背景知识的读者可以参阅相关文章[1][2]

4        特别说明

笔者发起此话题的讨论后,广东省英德一中熊振宇湖北汉川市汉川高中王为海山东省东营市河口区一中王彬、安徽省定远县炉桥中学牛文安、山西夏县中学杨学斌、天津市河北区扶轮中学张一、 安徽省宣城市第三中学黄兆华、北京市昌平一中周有祥等等,诸位老师先后以不同方式热情参与话题的讨论。杨学斌老师提出的解答最接近大家的一致认可,张一和王彬老师提供相应的分析引导和背景知识的学习指南,讨论中彼此相互启迪。周有祥老师对话题讨论的最终成文有无形推动。对此一并深表谢忱。 

主要参考文献

1 陈宝明.遗传概率的一个认识误区.生物学通报,200742(2)36-37

2 何风华.系谱分析中概率问题的贝叶斯分析一例.生物学通报,200742(10)25

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